수능과 내신을 위한 수학 학습법(과목별 고득점 전략)

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* 참고자료 - ebs 학습전략 설명회 자료집

 

바뀐 수능의 변화 이해하기

 

2024학년도 대학수학능력시험과 모의평가의 수학 시험에서는 다음과 같은 변화가 두드러졌다.

가) 문항 번호와 난이도가 항상 비례하는 것은 아니다.

공통 과목에서 변별력 있는 4점 문항이 다수 출제되면서 전통적인 문항 배치와는 다르게 난이도가 들쑥날쑥한 경향을 보였다. 

 

난이도순으로 문항 번호를 배치하던 기존 시험의 경우 모르는 문제가 나올 때까지 문제를 번호순으로 푸는 것이 유효했으나 이제는 특정 문항 번호 대(10번~15번)에서 비슷한 난이도의 문제가 출제될 것을 염두에 두고 모르는 문제는 우선 건너뛰는 시간 안배의 연습이 더 중요해졌다. 따라서 문항 번호를 통해 난이도를 예측하기보다 조건 해석이 쉽게 느껴지는 문제를 먼저 푸는 실전 연습이 필요하다.

나) 무엇이든 나올 수 있고, 무엇이 나올지 알 수 없다.

2023학년도 수능까지는 수학 시험지가 어느 정도 정형화되어 있었다. 단원 별로 자주 출제되는 유형이 정해져 있고, 해당 유형에 대해 계산량을 줄이고, 문제를 쉽게 풀어낼 수 있는 기술(실전 개념)들을 집중하여 훈련하는 경향이 있었다. 단원별 출제 경향을 파악하고 대표 유형을 풀어낼 수 있는 것은 여전히 중요하지만, 이제는 출제 경향을 파악하여 단원별 대표 유형을 집중적으로 훈련하는 것만으로는 3등급 이상의 성적을 받기가 어렵다. 수능에서는 새로운 표현의 여러 개념이 복합적으로 출제되기 때문에 유형에 대한 학습이 아닌, 조건의 해석과 발상(필연성 체계화)에 대한 연습이 필요하다. 특히 4점 문항의 경우 문제를 해결할 수 있는 다양한 접근 방법이 있고, 이에 따른 계산량의 차이가 크기 때문에 무턱대고 문제를 풀기보다 효율적인 해결 방법에 대해 고민한 후 문제를 푸는 것이 바람직하다.

다) 고등학교 1학년 간접 출제 범위의 중요도가 높아졌다. 

집합, 부정방정식, 이차함수의 그래프(대칭성), 이차방정식의 실근, 내분과 외분, 조립제법 등 고등학교 1학년 때 배운 내용들이 다양한 형태로 활용되어 출제되기 시작했다. 1학년 때 풀었던 심화 문제를 풀어낼 수 있는 능력이 필요한 것이 아니라 오랜만에 보는 개념들도 떠올려서 조건을 해석할 수 있어야 한다. 수능 수학 공부를 위해 고등학교 1학년 수학을 다시 공부하기에는 시간이 부족하니 압축 개념 강좌를 활용하거나 등장할 때마다 따로 노트에 개념 정리하는 습관이 필요하다.

라) 체감 연계율이 높아졌다.

EBS 연계교재(수능특강, 수능완성)에서의 연계율은 50%로 동일하나 이전에 비해 고난도 문항의 연계율이 높아졌고, 자료 활용이나 문항 변형의 방식으로 연계된 문항이 늘어 체감 연계율이 높아졌다. 연계교재를 풀지 않는다고 연계 문항을 풀 수 없다는 것이 아니라 연계교재에서 익숙한 표현의 문제를 시험장에서 마주하는 심적 안정감과 비연계 고난도 문항을 풀기 위한 충분한 시간 확보의 측면에서 연계교재는 더 이상 선택이 아니라 필수임을 알아야 한다. 

마) 선택과목별 난이도의 차이가 있다.

2024학년도 대학수학능력시험에서 수학 영역 응시자는 426,625명이고, 선택과목별 응시자 비율은 확률과 통계 45.0%, 미적분 51.0%, 기하 4.0%이었다. 미적분 선택자의 원점수가 100점인 경우 표준점수는 148점, 확률과 통계 선택자의 원점수가 100점인 경우 표준 점수는 137점으로 11점의 차이가 났다. 미적분을 선택한 학생 중 수학을 잘하는 학생이 많아 만점자를 줄이기 위해 선택과목의 난이도를 대폭 높인 결과 선택과목별 표준점수의 차이가 커지게 되었는데, 그 차이가 줄어들긴 하더라도 이러한 경향은 이어질 것으로 예상된다. 미적분의 경우 확률과 통계에 비해 학습량이 훨씬 많고, 시험 출제 문항의 난이도나 문제 풀이 시간이 훨씬 길기 때문에 확률과 통계를 선택한 학생은 상대적으로 많은 시간을 공통 과목 학습에 투자할 수 있어 만점의 표준점수만으로 유불리를 이야기할 수는 없다. 따라서 자신의 진로, 희망 학과에서 요구하는 교과목, 선택과 목의 학습량과 난이도, 표준점수를 종합적으로 고려하여 선택과목을 결정해야 한다. 

 

 

바르게 수학하기

 

가) 기초는 쉬워서 기초가 아니라, 중요해서 기초인 것이다. 

기초가 부실한 건물은 작은 흔들림에도 쉽게 무너지는 법. 유형별 문제집을 풀기 전에 개념서(개념 강좌)를 반드시 먼저 학습해야 한다. ‘고난도 문항을 풀어내기’보다 ‘고난도 문항을 제외한 나머지 문항을 풀어내기’ 위한 공부를 해야 한다. 수학은 100점에서 틀린 문제만큼 점수가 깎이는 것이 아니라 0점에서부터 점수를 쌓아가는 과목임을 잊지 말자. 기초가 튼튼해야 활용도 가능하다는 사실을 잊지 말고, 문제를 화려하게 풀어 내는 기술보다 교과서적인 풀이에 먼저 익숙해져야 한다. 기초 학습 단계에서 문제는 개념을 확인하고, 적용 하는 방법을 익히는 것에 도움이 되는 보조역할을 하는 것이어야지 문제 풀이가 목표가 되어서는 안 된다. 실수를 줄이기 위해서는 계산의 기초가 되는 다항식의 연산을 충분히 연습하고, 복잡한 식의 계산도 충분히 다뤄봐야 한다. 

나) 선행학습 << 심화학습

수능 수학의 승부처는 고등학교 2학년 때 배우는 공통과목(30문항중 22문항, 74점)인 수학Ⅰ, 수학Ⅱ이다. 방학 중 다음 학기 내용을 살펴보는 것은 바람직하나 학기 중에는 학교 진도에 맞춰 개념학습, 대표유형, 기출 문제 심화유형 순으로 반복 학습하는 것을 추천한다. 수학은 한 문제를 풀어내는 다양한 풀이 방법이 있고, 접근 방법에 따라 계산량의 차이가 크기 때문에 좋은 문제를 오래 고민하는 것이 중요하다. 한 번 풀 때 틀렸던 문항을 체크해두고, 1회 독 후에 다시 살펴보고, 주의해야 할 문항은 체크 후 다시 한번 살펴보자. 자신의 수준에 알맞은 교재를 선정하고 ‘한 권의 교재를 세 번 보는 것’이 ‘세 권의 교재를 푸는 것’보다 훨씬 효율적이다. 학교 시험에서 서술형 문항이 상위권을 판가름하는 요소이기 때문에 해설지의 ‘정답만 보며 채점’하는 것이 아니라 한 줄 한 줄의 ‘필요성과 발상을 이해하며 제대로 읽기’ 위해 노력해야 한다.

다) 공식 ≠  개념

‘개념은 아는 데 문제에 적용을 못하겠어요. 기본 문제는 풀 수 있는데 응용문제는 못 풀겠어요.’라는 학생들의 대부분은 ‘공식’을 ‘개념’이라고 착각하고 있다. ‘공식≠ 개념’임을 명심해야 한다. 처음에는 개념을 소설책 읽듯이 읽어 보고, 공식이 나오게 된 원리, 즉 ‘증명 과정’을 직접 자기 손으로 한줄 한줄 적어가며 어떻게 이 공식이 유도되고, 왜 이 공식이 필요한지를 느끼는 것이 중요하다. 

라) 개념을 아는 것 ≠  문제를 푸는 것 

교과서적 개념을 이해했다고 해서 모든 문제를 풀 수 있는 것은 당연히 아니다. 개념을 이해했다면 해당 개념 이 어떻게 적용되는지 알고, 필요한 순간에 꺼내어 사용할 수 있어야 한다. ‘함수의 그래프는 수학적 상황을 시각화하여 직관적으로 바라볼 수 있게 하는 도구’, ‘미분은 함수의 증가/감소를 판단하여 그래프 개형을 생각 할 수 있게 하는 도구’와 같이 도구로써 개념을 활용할 수 있어야 한다. 문제를 해결할 때 사용했던 발상을 정리하는 ‘발상 노트’를 만들어 보자.

마) 조건의 필연성 & 행동양식 체화 

여러 가지 개념이 복합적으로 연계된 고난도 문항을 해결하려면 ‘구해야 하는 것’이 무엇인지를 판단하고 ‘주 어진 조건과의 관계’를 읽어내는 능력이 필요하다. 특정한 상황에서 행동양식을 쌓아가면 복잡한 상황을 단순화하는 메커니즘을 체화할 수 있다. 예를 들어 원이 등장했을 때 보조선을 그어 직각삼각형을 만들고, 피타고라스의 정리나 삼각함수, 닮음을 활용해야 한다. 마 찬가지로 원에 내접하는 사각형이 등장했을 때, 대각의 합이 180º , 중심각과 원주각의 관계, 사인법칙 등을 떠올리는 것들을 행동양식으로 정리해 두는 것이다. 

바) EBSi 제대로 활용하기 (기출&고난도)

개념학습과 빈출 유형에 대한 학습을 마쳤다면 양질의 문제를 오래 고민하며 풀어내는 경험이 필요하다. 가장 좋은 것은 오답률 높은 기출문제와 연계교재의 문항들을 학습하는 것이지만 시기별, 단원별 기출문제를 혼자 힘으로 정리하기는 어려운 일이다. 이 단계에서 가장 효율적인 것이 바로 EBSi 홈페이지의 해당 기능을 활용 하는 것.

[모의고사-역대 등급 컷/오답률 BEST15] 메뉴를 활용하면 최근 10년간 수능, 모의평가, 학력평가의 오답률 높은 문항들을 확인할 수 있다. 문제와 해설뿐만 아니라 해설 강의까지 함께 이용할 수 있으니, 고난도 문항들 은 반드시 해설지와 해설 강의까지 확인하는 것을 추천한다. 

또한, [기출문제-나의 기출문제] 메뉴에 들어가서 [시험지 만들기-분류별 검색] 메뉴를 활용하면 특정 단원 의 특정 개념이 활용된 문제를 한 번에 모아서 학습할 수 있다. 기출문제뿐만 아니라 EBS 교재의 문제들까지 이용할 수 있고, 오답률을 기준으로 자신에게 필요한 문항들을 최대 100문항까지 한 번에 학습할 수 있으니 잘 활용하면 최고의 학습 자료가 될 것이다. 그리고 [인공지능 DANCHOO]의 AI 문제 추천 메뉴는 취약한 개념, 취약한 유형의 학습에 아주 효율적이다. 

 

대부분의 학생은 수학 공부를 한다. 하지만 많은 학생이 잘못된 방법으로 공부하고 좌절한다. 위의 방법들을 염두에 두고 ‘기본 개념서 → 유형별 문제집 → 심화 개념서 → 기출문제집&심화문제집(고난도N제)’의 순서 대로 공부한다면 더 이상 수학 때문에 아파하지 않고, 누구보다 행복한 미소를 지을 수 있는 여러분이 될 수 있을 것이다.

 

 

효율적인 수학 학습법

 

수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 선택 과목까지 세 권의 노트를 준비한다. 과목마다 필요한 개념과 문제에서 마주하는 조건 해석, 발상을 정리해 가며 한 달에 한두 번 노트를 반복하여 읽는다. 

가) 개념노트 : 수학 개념 단권화

– 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 선택과목에 대해 15~20장의 개념을 직접 정리한다. (고등학교 1학년 수학, 도형의 성질도 파트를 구분하여 나올 때마다 함께 정리해 둔다.) 

STEP1. 교과서의 단원 목차를 모두 적고, 소주제와 용어를 정리해 보면 전반적인 흐름, 개념 사이의 연결 관계와 위계를 이해할 수 있다.

 

STEP2. 노트 각 장의 앞면 : 교과서를 보며 각각의 개념에 대한 정의, 조건, 유도 과정을 정리해 보면 문제를 풀 때 어느 단원에서 어느 개념이 적용된 문제인지가 느껴진다.

 

STEP3. 노트 각 장의 뒷면 : 학교 수업, 인터넷 강의, 심화 개념서 등을 통해 새롭게 알게 된 심화 개념들을 접할 때마다 정리한다. 그러면 한 장에 앞면에는 기본 개념, 뒷면에는 심화 개념이 정리되어 한 장으로 해당 개념을 모두 훑어볼 수 있다.

 

 

나) 발상노트 : 조건의 해석과 발상(필연성, 행동양식, 행동강령의 체계화)
– 과목별로 준비한 노트의 앞쪽 15~20장은 개념으로 채워지고, 뒤쪽은 풀지 못한 문제의 막힌 단계에 대한 간단한 코멘트를 단원(개념)별로 쌓아간다. 틀린 문제와 해설을 적는 것이 아니라 문제에서 자신이 접근했던 방식과 미처 떠올리지 못했던 부분을 적는 것이다. 시간을 단축하는 화려한 기술이 중요한 것이 아니라 조건 을 해석하는 능력과 낯선 조건(표현) 속에서 개념을 떠올리는 능력을 기르는 것에 초점을 둬야 한다. 필연성, 행동양식, 행동강령, 발상 등의 표현으로 지칭하는 학습법은 모두 본질적으로 같다. 

 

 

 

수학 수준별 학습 전략(최상위권, 상위권)

 

가) 최상위권 수준의 학생 : 상위 10% 이내의 학생

“문제 풀이에 욕심내지 말고, 깊이 있는 개념공부와 직접 증명해 보기!”

교과서를 소홀히 하거나 선행하는 것에 집중하는 학생이 많다. 일반적으로 상위 10%의 학생과 상위 30%의 학생이 같은 시간, 같은 과목을 공부하면 절대 역전당하는 일은 없다. 상위권 학생이 역전당하고 성적이 떨어지는 것은 지금 당장 필요한 과목에 덜 투자하고, 나중에 필요한 과목에 많이 투자했을 때 일어난다. 그렇게 소홀히 한 개념 때문에 떨어진 성적을 다시 올리는 것은 성적을 유지하는 것에 비해 몇 배는 더 어렵다. 당장 필요한 과목에 집중하고, 선행은 방학 때 최대 1년까지만 하고, 학기 중에는 학교 시험 과목에 집중할 것을 추천한다. 어느 시험이든 최상위권은 킬러문항(3문항)에서 승부가 나는데, 연산 능력에 자신이 있다고 암산 으로 답을 찾거나 남들보다 문제를 빨리 푸는 것에 자만하지 않아야 한다. 빠른 계산 속도는 초등학생에게나 자랑거리이다. 이런 성향의 학생들이 오히려 계산 실수가 잦고, 서술형 답안을 작성하는 것에 서툰 경우가 많다. ‘과정 중심의 평가’를 강조하며 수행평가와 서술형 문항의 비중이 커지고 있으므로 반드시 모든 공식을 증명해 보고, 어려운 문제는 해설지의 한 줄 한 줄의 의미를 이해하며 똑같이 적어보길 추천한다. 수학 공부의 절반은 대표 유형들을 실수 없이 해결하며 감각을 유지하는 것에, 나머지 절반은 고난도 문항을 충분히 고민 하는 것에 투자하도록 한다. 특히 교육청, 평가원 기출 문항 중 15번, 21번, 22번, 30번과 같은 최고난도 문항 들은 여러 강사의 해설 강의를 통해 조건을 해석하고 문제에 접근하는 다양한 사고방식을 익히는 것이 도움이 된다. 

 

 

나) 상위권 수준의 학생 : 상위 10%~30%의 학생

“전교 1등 문제집 & 학원 따라간다고 전교 1등 되는 게 아니다. 부족한 개념부터!”

성적을 올리려면 자신보다 성적이 좋은 학생이 듣는 강의, 다니는 학원, 푸는 문제집을 따라 하면 된다고 착각 하는 학생이 많다. 이것은 히말라야를 등정하는 산악인이 “오랜 시간의 연습으로 인해 히말라야를 오를 수 있게 된 것”처럼 전교 1등인 학생도 “오랜 시간의 연습으로 인해 어려운 문제집을 풀 수 있게 된 것”이지 “저 어려운 문제집을 풀어서 성적이 올랐으니 나도 저 문제집을 따라 풀면 성적이 오를 거야”라고 원인과 결과를 착각하면 안 된다. 상위권 학생이 최상위권이 되기 위해 갖추어야 할 첫 번째 역량은 킬러문제를 맞추는 것이 아니라 킬러문제를 제외한 나머지 문제를 빠른 시간에 실수 없이 풀어내는 것이다. 킬러문제를 풀지 못해서 더 좋은 성적을 받지 못한다고 착각하는 경우가 많은데, 실제 1등급, 2등급은 가장 어려운 2문항을 틀리더라도 무난하게 받을 수 있는 성적이다. 교과서와 개념서의 모든 공식을 증명해 보고, 어려운 문제는 해설지의 한줄 한줄의 의미를 이해하며 똑같이 적어 보며 공부하길 추천한다. 대표 유형을 풀어내는 시간과 최고난도 문항을 고민하는 시간의 비율을 7대 3 정도로 균형 있게 유지하도록 한다. 최상위권으로 앞서나가고 싶다고 선행에 많은 시간을 투자하는 것은 오히려 가장 성적을 떨어뜨리는 지름길임을 잊지 말아야 한다.

 

 

수학 수준별 학습 전략(중위권, 하위권)

 

다) 중위권 수준의 학생 : 상위 30~60%의 학생

“수업 들은 것을 자신이 공부한 것으로 착각하지 말자! 복습해야 내 것이 된다.”

공부를 하지 않는 것은 아니지만 학원의 숙제 정도만 겨우 하거나 학교에서 수업만 들을 뿐 스스로 공부하는 습관이 들지 않은 학생이 많다. 중위권 학생의 대부분이 개념 정리가 되어있지 않은데, 스스로는 ‘응용문제에 대해 적용하는 것이 서툴다’라거나 ‘고난도 문항에 대한 연습이 부족하다’라고 착각하는 경우가 많다. 공부량 자체가 적은 경우가 많기 때문에 매일 규칙적으로 일정 시간의 공부량을 유지하는 것이 중요하고, 한 권의 교재를 반복해서 공부하는 것이 훨씬 더 효과적이다. 교과서와 개념서, 쉬운 유형별 문제집을 반복 학습하여 단원별 대표 유형들만 해결할 수 있더라도 극적인 성적 상승을 기대할 수 있다. 수능 수학에 필요한 고등학교 1학년 내용은 압축 강좌를 통해 필요한 부분만 정리하도록 하고, 6월까지 수학1, 수학2, 선택과목의 개념 강좌 를 학습하고, 9월까지 연계교재와 기출문제를 학습한다면 9월 모의평가에서 긍정적인 변화가 생길 것이다.

 

 

라) 하위권 수준의 학생 : 상위 60% 이하의 학생

“헛되게 소비하는 시간을 줄이고, 중학교 수학부터 다시 한다면 반드시 역전 찬스는 온다.”

기본적으로 핸드폰, 컴퓨터 등으로 허비하는 시간이 많고, 열심히 공부해 본 경험 자체가 없는 경우가 많다. 우선 자신의 하루, 일주일을 되돌아보며 생활방식을 반성할 필요가 있다. 자신이 허비하는 시간을 확인하고, 습관을 조금씩 고쳐가기 위해 처음에는 무리하지 말고 ‘30분씩 4회 앉아 있기’와 같이 실현할 수 있는 계획부 터 이루어 가는 것이 바람직하다. 기초가 없는 상태에서 기출문제나 유형별 문제집을 풀 수도 없을뿐더러 억 지로 풀어내려 해도 전혀 도움이 되지 않는다. 우선 목표로 설정한 한 권의 교재나 하나의 강좌를 끝까지 완주 하는 경험이 중요하다. 수준에 맞는 교재나 강의의 선정에 신경 써야 하고, 비교적 문제 수준이 쉽고 문항 수가 적은 교재를 선정하거나 강좌 수가 적은 강좌를 선택하여 매일 정해진 시간에 꾸준히 공부하도록 한다. 수능 수학에 필요한 고등학교 1학년 과정과 수학1, 수학2, 선택과목의 기초 개념 강좌를 6월까지 학습하고, 이후에 기출 문항 중 2점, 3점 문항들을 먼저 학습하여 성적이 오르는 기쁨을 느낄 수 있도록 한다. 이후에 연계교재나 기출문제를 중심으로 빈출 유형들을 정리한다면 투자한 시간 대비 빠른 성적 향상을 기대할 수 있다.